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VARIACIONES Y EXTENSIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS EN LA C.T. OBJETIVOS : • Calcular las razones trigonométricas de números reales. • Calcular las variaciones de las razones trigonométricas según el cuadrante al cual pertenece el ángulo (arco). INTRODUCCIÓN: Todo lo estudiado anteriormente se ha hecho en base al cálculo de razones trigonométricas de ángulos, sin embargo existe otro concepto muy importante el cual es, el de la razones trigonométricas de números reales. La principal diferencia entre ambos conceptos radica en la etimología de argumento. Las representaciones trigonométricas de números reales es de amplia importancia en la matemática. Para que usted pueda entender con éxito la parte teórica sígame con las siguientes nociones previas. CIRCUNFERENCIA REGULAR Es aquella circunferencia inscrita en un plano cartesiano cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Dicha ecuación se puede deducir a partir de la distancia entre dos puntos P y O Luego: r2 = x2 + y2 DEFINICIÓN Una circunferencia trigonométrica es aquella circunferencia regular, cuyo radio es igual a la unidad de escala del sistema. Donde: A(1; 0) : Origen de arcos B(0; 1) : Origen de complementos A'(–1; 0) : Origen de suplementos B'(0; –1) : Sin nombre especial : Eje de tangentes NÚMEROS REALES Y ARCOS DIRIGIDOS EN POSICIÓN NORMAL Dado el gráfico: P : Extremo final del arco AP o simplemente “Extremo del arco” En el sector circular AOP por longitud de arco se sabe que: Luego podemos afirmar que el ángulo dirigido rad. asociado a la C.T., es únicamente igual al arco , aclarando esto un poco más concluimos que: Ejemplo: El gráfico siguiente ilustra un poco más al respecto: Un extremo de arco es el arco de infinitos arcos, es decir que cada punto de la C.T. representará a infinitos arcos, esto es un arco y sus coterminales. P : Extremo de y también de De igual forma R.T. (rad) = R.T. () * REPRESENTACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA C.T. DEFINICIÓN I El seno de un arco dirigido en posición normal en la C.T. se representa mediante la ordenada del extremo del arco. DEFINICIÓN II El coseno de un arco dirigido en posición normal en la C.T. se representa mediante la abscisa del extremo del arco. Para aclarar un poco más al respecto sígame con el siguiente ejemplo: En el punto B: ; pero B=(0; 1) Concluimos entonces: De donde: De igual forma en el punto A’ A' = (cos; sen); pero A'=(–1; 0) Concluimos que: (cos; sen) = (–1; 0) De donde: Ejemplo 1: Si: Halle los valores del sen. Resolución: Del dato Representando estos arcos en la C.T. Se observa que: –1 < sen < 0 Teorema: 1. Calcule el mínimo de: A) 5 B) 1 C) –2 D) –1 E) –5 2. Calcule la suma de los valores enteros de la expresión: E = 4 cos a + 1 A) 10 B) 15 C) 16 D) 9 E) 5 3. Calcule el valor de k si: 2 sen a – 3 k = 1 A) B) C) D) E) 4. Si: , además: , calcule la suma de los valores enteros de a. A) –25 B) –24 C) –23 D) –22 E) –18 5. Calcule los valores si: A) B) C) D) E) 6. Si: , halle la expresión: A) B) C) D) E) 7. Halle los valores de a si: , además: A) B) C) D) E) 8. Calcule la extensión de la expresión: A) [0; 2[ B) [0; 1] C) [–1; 2] D) ]0; 2[ E) [0; 2] 9. Calcule la extensión de la expresión: A) B) [1; 2] C) D) E) 10. Calcule el mínimo valor de la expresión: k = cos a (cos a – 1
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